Question

定長為3的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，動點P滿足

BP

=2

PA

．
（Ⅰ）求點P的軌跡曲線C的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線與曲線C交于M、N兩點，求

OM

•

ON

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,圓錐曲線的軌跡問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₀，0），B（0，y₀），P（x，y），由

BP

=2

PA

得，（x，y-y₀）=2（x₀-x，-y），由此能求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）當過點（1，0）的直線為y=0時，

OM

•

ON

=(2，0)•(-2，0)=-4，當過點（1，0）的直線不為y=0時，可設(shè)為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

x2 4 +y2=1 x=ty+1

，化簡得：（t²+4）y²+2ty-3=0，由此利用韋達定理、根的判別式、向量的數(shù)量積結(jié)合已知條件能求出

OM

•

ON

的最大值為

1

4

．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₀，0），B（0，y₀），P（x，y），
由

BP

=2

PA

得，（x，y-y₀）=2（x₀-x，-y），
即

x=2(x0-x) y-y0=-2y

⇒

x0= 3 2 x y0=3y

，（2分）
又因為x02+y02=9，所以（

3

2

x）²+（3y）²=9，
化簡得：

x2

4

+y2=1，這就是點P的軌跡方程．（4分）
（Ⅱ）當過點（1，0）的直線為y=0時，

OM

•

ON

=(2，0)•(-2，0)=-4，
當過點（1，0）的直線不為y=0時，可設(shè)為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2 4 +y2=1 x=ty+1

，化簡得：（t²+4）y²+2ty-3=0，
由韋達定理得：y1+y2=-

2t

t2+4

，y1y2=-

3

t2+4

，（6分）

OM • ON =x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1 =(t2+1) -3 t2+4 +t -2t t2+4 +1= -4t2+1 t2+4 = -4(t2+4)+17 t2+4 =-4+ 17 t2+4

又由△=4t²+12（t²+4）=16t²+48＞0恒成立，（10分）
得t∈R，對于上式，當t=0時，(

OM

•

ON

)max=

1

4

綜上所述

OM

•

ON

的最大值為

1

4

．…（12分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．