【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣ 存在單調(diào)遞減區(qū)間,且y=f(x)的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切,符合情況的切線l( )
A.有3條
B.有2條
C.有1條
D.不存在
【答案】D
【解析】解:函數(shù)f(x)=x﹣ 的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1﹣ ,
依題意可知,f′(x)<0在(﹣∞,+∞)有解,
①a<0時(shí),f′(x)<0 在(﹣∞,+∞)無解,不符合題意;
②a>0時(shí),f′(x)>0即a> ,lna> ,x<alna符合題意,則a>0.
易知,曲線y=f(x)在x=0處的切線l的方程為y=(1﹣ )x﹣1.
假設(shè)l與曲線y=ex相切,設(shè)切點(diǎn)為(x0 , y0),
即有 =1﹣ =(1﹣ )x0﹣1,
消去a得 ,設(shè)h(x)=exx﹣ex﹣1,
則h′(x)=exx,令h′(x)>0,則x>0,
所以h(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x→﹣∞,h(x)→﹣1,x→+∞,h(x)→+∞,
所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,則 ,
而a>0時(shí), ,與 矛盾,所以不存在.
故選:D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=4x3+ax2+bx+5在x= 與x=﹣1時(shí)有極值.
(1)寫出函數(shù)的解析式;
(2)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)n∈N* , 證明: + +…+ <ln(n+1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓Γ: + =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形,O為坐標(biāo)原點(diǎn):
(1)求橢圓Г的方程:
(2)設(shè)點(diǎn)A在橢圓Г上,點(diǎn)B在直線y=2上,且OA⊥OB,求證: + 為定值:
(3)設(shè)點(diǎn)C在Γ上運(yùn)動(dòng),OC⊥OD,且點(diǎn)O到直線CD距離為常數(shù)d(0<d<2),求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某學(xué)校高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50人測(cè)量身高.?dāng)?shù)據(jù)表明,被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm到195cm之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組[155,160);第二組[160,165);…;第八組[190,195].如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.已知第一組與第八組人數(shù)相同,第六組比第七組少1人.
(1)估計(jì)這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高在180cm以上(含180cm)的人數(shù);
(2)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩人,記他們的身高分別為x,y,求滿足“|x﹣y|≤5”的事件的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=135°,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點(diǎn),點(diǎn)M在線段PD上.
(1)求證:EF⊥平面PAC;
(2)如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017河北唐山三模】已知函數(shù), .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn),證明: .
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,AB=PA=1,AD= ,F(xiàn)是PB中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn).
(1)求證:AF⊥平面PBC;
(2)當(dāng)BE為何值時(shí),二面角C﹣PE﹣D為45°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=3,△ABC的面積等于 ,D為邊長(zhǎng)BC上一點(diǎn).
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)當(dāng)AD= 時(shí),求cos∠CAD的值.
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