【題目】【2017河北唐山三!已知函數(shù), .
(1)討論函數(shù)的單調性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間有唯一零點,證明: .
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求導得, 分, , ,三種情況討論可得單調區(qū)間.
(Ⅱ)由(1)及可知:僅當極大值等于零,即且
所以,且,消去得,構造函數(shù),證明單調且零點存在且唯一即可.
試題解析:(Ⅰ) , ,
令, ,
若,即,則,
當時, , 單調遞增,
若,即,則,僅當時,等號成立,
當時, , 單調遞增.
若,即,則有兩個零點, ,
由, 得,
當時, , , 單調遞增;
當時, , , 單調遞減;
當時, , , 單調遞增.
綜上所述,
當時, 在上單調遞增;
當時, 在和上單調遞增,
在上單調遞減.
(Ⅱ)由(1)及可知:僅當極大值等于零,即時,符合要求.
此時, 就是函數(shù)在區(qū)間的唯一零點.
所以,從而有,
又因為,所以,
令,則,
設,則,
再由(1)知: , , 單調遞減,
又因為, ,
所以,即
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,∠PAQ是村里一個小湖的一角,其中∠PAQ=60°.為了給村民營造豐富的休閑環(huán)境,村委會決定在直線湖岸AP與AQ上分別建觀光長廊AB與AC,其中AB是寬長廊,造價是800元/米;AC是窄長廊,造價是400元/米;兩段長廊的總造價預算為12萬元(恰好都用完);同時,在線段BC上靠近點B的三等分點D處建一個表演舞臺,并建水上通道AD(表演舞臺的大小忽略不計),水上通道的造價是600元/米.
(1)若規(guī)劃寬長廊AB與窄長廊AC的長度相等,則水上通道AD的總造價需多少萬元?
(2)如何設計才能使得水上通道AD的總造價最低?最低總造價是多少萬元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某廠為了解甲、乙兩條生產線生產的產品的質量,從兩條生產線生產的產品中隨機抽取各10件,測量產品中某種元素的含量(單位:毫克).如圖是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖:
規(guī)定:當產品中的此種元素含量滿足≥18毫克時,該產品為優(yōu)等品.
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),計算甲、乙兩條生產線產品質量的均值與方差,并說明哪條生產線的產品的質量相對穩(wěn)定;
(2)從乙廠抽出的上述10件產品中,隨機抽取3件,求抽到的3件產品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學期望E(ξ).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣ 存在單調遞減區(qū)間,且y=f(x)的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切,符合情況的切線l( )
A.有3條
B.有2條
C.有1條
D.不存在
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l:y=x+1,圓O: ,直線l被圓截得的弦長與橢圓C: 的短軸長相等,橢圓的離心率e= .
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點M(0, )的動直線l交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得無論l如何轉動,以AB為直徑的圓恒過定點T?若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ ax2+x,a∈R.
(1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)令g(x)=f(x)﹣(ax﹣1),求函數(shù)g(x)的單調區(qū)間;
(3)若a=﹣2,正實數(shù)x1 , x2滿足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,證明x1+x2≥ .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1= ,且對于任意正整數(shù)m,n都有an+m=anam . 若Sn<a對任意n∈N*恒成立,則實數(shù)a的最小值是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2017四川資陽4月模擬】共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點、商業(yè)區(qū)、公共服務區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務,由于其依托“互聯(lián)網+”,符合“低碳出行”的理念,已越來越多地引起了人們的關注.某部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管,隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查,并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100] 分成5組,制成如圖所示頻率分直方圖.
(Ⅰ) 求圖中的值;
(Ⅱ) 已知滿意度評分值在[90,100]內的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1,若在滿意度評分值為[90,100]的人中隨機抽取4人進行座談,設其中的女生人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望.
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