Question

6．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；
（2）若曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₁上點(diǎn)P的極角為$\frac{π}{4}$，Q為曲線C₂上的動點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；
（2）$P（\frac{π}{4}，2\sqrt{2}）$，直角坐標(biāo)為（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，利用點(diǎn)到直線l的距離公式能求出點(diǎn)M到直線l的最大距離．

解答 解：（1）由曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，得直角坐標(biāo)方程${C_1}：{x^2}+{y^2}-4x=0$，
直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$，消去參數(shù)，可得普通方程l：x+2y-3=0．（5分）
（2）$P（\frac{π}{4}，2\sqrt{2}）$，直角坐標(biāo)為（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，
M到l的距離d=$\frac{|1+cosα+2+sinα-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}|sin（α+\frac{π}{4}）|$，從而最大值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．（10分）

點(diǎn)評 本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程的運(yùn)用．