Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+2與函數(shù)$g（x）=-{x^2}+ax+b-\frac{1}{2}$的一個交點為P，以P為切點分別作函數(shù)f（x），g（x）的切線l₁，l₂，若l₁⊥l₂，則ab的最大值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先對兩個二次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后設(shè)交點坐標(biāo)，根據(jù)它們在一個交點處的切線相互垂直可得到a+b=3，再由基本不等式可求得最大值．

解答 解：∵f（x）=x²-2x+2，∴f'（x）=2x-2，
∵g（x）=-x²+ax+b-$\frac{1}{2}$，∴g'（x）=-2x+a，
設(shè)交點為（x₀，y₀），
∵它們在一個交點處切線互相垂直，
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，即4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，①
由交點分別代入二次函數(shù)式，整理得，
2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0，即4x₀²-（4+2a）x₀+5-2b=0，②
由①②整理得 2a-1-5+2b=0，即a+b=3，（a＞0，b＞0）
∴ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{3}{2}$時取等號，
∴ab的最大值為$\frac{9}{4}$．
故答案為$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，一定要注意用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”．綜合性較強(qiáng)，運算量較大．