Question

已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=-2f（x+2），當(dāng)x∈（0，2}時(shí)，f（x）=-2x²+2x．設(shè)f（x）在（2n-2，2n]上的最大值為a_n（n∈N⁺），且{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則

lim

n→∞

S_n=（　　）

• A．2
• B．

  10

  3

• C．

  5

  6

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：由條件可得f（x+4）=

1

22

f（x），當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，n=1，求得a₁=

1

2

，從而得到{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

4

為公比的等比數(shù)列，求出{a_n}的所有的奇數(shù)項(xiàng)的和．當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，n=2，求得a₂=2，{a_n}的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以

1

4

為公比的等比數(shù)列，故{a_n}的所有的偶數(shù)項(xiàng)的和．再把奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和相加即得所求．

解答：解：∵定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=-2f（x+2），∴f（x+2）=-

1

2

f（x），
∴f（x+4）=-

1

2

f（x+2）=

1

22

 f（x），f（x+6）=-

1

23

f（x），…f（x+2n）=（-1）ⁿ 

1

2n

 f（x）．
∵當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，n=1，f（x）=-2x²+2x，故當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）取得最大值為a₁=

1

2

．
當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，n=2，0≤x-2＜2，f（x-2）=-2（x-2）²+2（x-2）．再由f（x）=-2f（x+2）可得 f（x-2）=-2f（x），可得 
-2（x-2）²+2（x-2）=-2f（x），∴f（x）=（x-2）²-（ x-2 ）=（x-2）（x-3），顯然 x=4時(shí)，f（x）在（2，4]上有最大值為 a₂=2．
再由f（x+4）=

1

22

f（x）可得，{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

4

為公比的等比數(shù)列，故{a_n}的所有的奇數(shù)項(xiàng)的和為

a1

1-q

=

2

3

．
{a_n}的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以

1

4

為公比的等比數(shù)列，故{a_n}的所有的偶數(shù)項(xiàng)的和為

a2

1-q

=

8

3

．
故{a_n}的所有項(xiàng)的和S=

lim

n→∞

S_n =

2

3

+

8

3

=

10

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和，屬于難題．