Question

【題目】設函數(shù)

（Ⅰ）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值；

（Ⅱ）若函數(shù)存在唯一零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的極小值為2；（Ⅱ）當或時，函數(shù)有且只有一個零點.

【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，進而確定極值（2）先化簡，再利用參變分離法得，利用導數(shù)研究函數(shù)，由圖像可得存在唯一零點時的取值范圍

試題解析：（1）由題設，當時， ，

則，由，得．

∴當， ， 在上單調(diào)遞減，

當， ， 在上單調(diào)遞增，

∴當時， 取得極小值，

∴的極小值為2.

（2）由題設，

令，得．

設，則，

當時， ， 在上單調(diào)遞增；

當時， ， 在上單調(diào)遞減．

∴是的唯一極值點，且是極大值點，因此也是的最大值點．

∴的最大值為．

又，結合的圖象（如圖），可知

當時，函數(shù)有且只有一個零點；

當時，函數(shù)有且只有一個零點．

所以，當或時，函數(shù)有且只有一個零點.