Question

11．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，點(diǎn)E是SB的中點(diǎn)，∠SBC=45°，SC=SB=2$\sqrt{2}$，△ACD為等邊三角形．
（Ⅰ）求證：SD∥平面ACE；
（Ⅱ）求二面角D-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE∥SD，由此能證明SD∥平面ACE．
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)G，以G為原點(diǎn)，GA為x軸，GB為y軸，GS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向是量法能求出二面角D-SC-B的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，
∵底面ABCD為平行四邊形，∴O是BD中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E是SB的中點(diǎn)，∴OE∥SD，
∵SD?平面ACE，OE?平面ACE，
∴SD∥平面ACE．
解：（Ⅱ）取BC中點(diǎn)G，連結(jié)SG，AG，
∵∠SBC=45°，SC=SB=2$\sqrt{2}$，△ACD為等邊三角形，
∴SG⊥平面ABCD，AG⊥BC，
以G為原點(diǎn)，GA為x軸，GB為y軸，GS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
S（0，0，$\sqrt{2}$），C（0，-$\sqrt{2}$，0），D（$\sqrt{6}$，-2$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{CS}$=（0，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
設(shè)平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\sqrt{6}x-\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CS}=\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
平面SCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角D-SC-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角D-SC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．