Question

3．隨機(jī)抽取某中學(xué)高三年級(jí)甲，乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量出他們的身高（單位：cm），獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖，其中甲，乙兩班各有一個(gè)數(shù)據(jù)被污損．
（1）若已知甲班同學(xué)身高眾數(shù)有且僅有一個(gè)為179，乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為172，求甲，乙兩班污損處的數(shù)據(jù)；
（2）在（1）的條件下，求甲，乙兩班同學(xué)身高的平均值；
（3）①若已知甲班同學(xué)身高的平均值大于乙班同學(xué)身高的平均值，求甲班污損處的數(shù)據(jù)的值；
②在①的條件下，從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高高于170cm的同學(xué)，求身高為181cm的同學(xué)被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）由甲班同學(xué)身高眾數(shù)有且僅有一個(gè)為179，乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為172，能求出甲，乙兩班污損處的數(shù)據(jù)．
（2）由（1）能求出甲班同學(xué)身高的平均值和乙班同學(xué)身高的平均值．
（3）①設(shè)甲，乙班污損處的數(shù)據(jù)分別為x，y（0≤x≤9，0≤y≤9，x，y∈N），由題意求出$170+\frac{x}{10}＞170+\frac{y+8}{10}$．由此能求出甲班污損處的數(shù)據(jù)的值．
②設(shè)“身高為181cm的同學(xué)被抽中”為事件A，利用列舉法能求出身高為181cm的同學(xué)被抽中的概率．

解答 解：（1）因?yàn)橐阎�甲班同學(xué)身高眾數(shù)有且僅有一個(gè)為179，
所以甲班污損處是9．
因?yàn)橐野嗤瑢W(xué)身高的中位數(shù)為172，
所以乙班污損處是4．
（2）由（1）得甲班同學(xué)身高的平均值為：
$\frac{158+162+163+168+168+171+179+179+179+182}{10}=170.9$，
乙班同學(xué)身高的平均值為：
$\frac{159+162+165+168+170+174+176+178+179+181}{10}=171.2$．
（3）①設(shè)甲，乙班污損處的數(shù)據(jù)分別為x，y（0≤x≤9，0≤y≤9，x，y∈N），
則甲班同學(xué)身高的平均值為$\frac{{158+162+…+（{170+x}）+…+182}}{10}=170+\frac{x}{10}$，
乙班同學(xué)身高的平均值為$\frac{{159+162+…+（{170+y}）+…+179+181}}{10}=170+\frac{y+8}{10}$，
由題意，$170+\frac{x}{10}＞170+\frac{y+8}{10}$．
解得x＞y+8．又0≤x≤9，0≤y≤9，x，y∈N，
則y_min=0，得x＞8，∴x=9，此時(shí)y=0．
故甲班污損處的數(shù)據(jù)的值為9．
②設(shè)“身高為181cm的同學(xué)被抽中”為事件A，
從乙班10名同學(xué)中抽取兩名身高高于170cm的同學(xué)有：
{176，178}，{176，179}，{176，181}，{178，179}，{178，181}，{179，181}共6個(gè)基本事件，
而事件A含有{176，181}，{178，181}，{179，181}共3個(gè)基本事件，
所以身高為181cm的同學(xué)被抽中的概率$P（A）=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平均數(shù)的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意莖葉圖的性質(zhì)和列舉法的合理運(yùn)用．