Question

7．受市場的影響，三峽某旅游公司的經濟效益出現(xiàn)了一定程度的滑坡，現(xiàn)需要對某一景點進行改造升級，提高旅游增加值．經過市場調查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足y=$\frac{51}{50}$x-ax²-lnx+ln10，且$\frac{x}{2x-12}$∈[1，+∞）．當x=10時，y=9.2．
（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范圍：
（2）求旅游增加值y取得最大值時對應的x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出f（x）=$\frac{51}{50}$x-0.01x²-lnx+ln10，6＜x≤12，由此能求出結果．
（2）f′（x）=-$\frac{（x-1）（x-50）}{50x}$，當x∈（6，12]時，f′（x）＞0恒成立，由此能求出投入12萬元進行改造升級，取得最大的增加值．

解答 解：（1）因為y=$\frac{51}{50}$x-ax²-lnx+ln10，
當x=10時，y=9.2，解得a=0.01．
所以f（x）=$\frac{51}{50}$x-0.01x²-lnx+ln10．
因為$\frac{x}{2x-12}$∈[1，+∞），所以6＜x≤12，
即投入x的取值范圍是（6，12]．…（6分）
（2）對f（x）求導，得f′（x）=-$\frac{（x-1）（x-50）}{50x}$．
當x∈（6，12]時，f′（x）＞0恒成立，
因此f（x）在區(qū)間（6，12]上是增函數(shù)．
從而當x=12時，f（x）取得最大值，
即投入12萬元進行改造升級，取得最大的增加值．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調性以及函數(shù)的最值的求法，正確求出函數(shù)的解析式是基礎，利用導數(shù)求解是解題的關鍵．