若數(shù)列滿足①，②存在常數(shù)與無關(guān)），使.則稱數(shù)列是“和諧數(shù)列”.

（1）設(shè)為等比數(shù)列的前項和，且，求證：數(shù)列是“和諧數(shù)列”；

（2）設(shè)是各項為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，是的前項和，求證：數(shù)列是“和諧數(shù)列”的充要條件為.


（1）設(shè)公比為，則,

所以.                             

因為

=

=.                 

且即存在常數(shù)32,        

所以，數(shù)列是“和諧數(shù)列” .

（2）充分性

設(shè)等比數(shù)列的公比，且

則.

令，則                           

因為

所以是“和諧數(shù)列”                           

必要性

等比數(shù)列各項為正，且是“和諧數(shù)列”.

因為 所以，

下面用反證法證明，

（1）當(dāng)則因為所以，不存在，使對恒成立;

當(dāng)，則

所以，對于給定的正數(shù)，若

因為，，所以，

即當(dāng)時，有.

所以，不存在常數(shù)，使                                

所以，

綜上,數(shù)列是“和諧數(shù)列”的充要條件為其公比為.           


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是    ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


某商場為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為的圓形包裝紙包裝．要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達(dá)到三棱錐的頂點(diǎn)，如圖所示．設(shè)正三棱錐的底面邊長為，體積為．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，的最大值是多少？并求此時的

值．

 


查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，已知，那么滿足的

的所有取值構(gòu)成的集合是                .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖，在平面上，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，（）

（1）若點(diǎn)，求的值；

（2）若，，求.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


甲、乙、丙三位同學(xué)商量高考后外出旅游，甲提議去古都西安，乙提議去海上花園廈門，丙表示隨意．最終，三人商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果．規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上，則甲得一分、乙得零分；若反面朝上，則乙得一分、甲得零分，先得4分者獲勝．三人均執(zhí)行勝者的提議．若記所需拋擲硬幣的次數(shù)為X．

（1）求的概率；

（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


頂點(diǎn)在原點(diǎn)且以雙曲線的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線方程是        ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知點(diǎn)（其中，點(diǎn)的軌跡記為曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)在曲線上．

(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)當(dāng)時，求曲線與曲線的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


在中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且若的面積為，則的最小值為_________.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案