Question

20．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²異于坐標原點O的兩個不同動點A、B，滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則△ABC的重心G的軌跡的普通方程為$y=3{x}^{2}+\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 設出AB的方程，A，B的坐標，進而把直線與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而利用拋物線方程求得y₁y₂=的表達式，進而根據(jù)AO⊥BO推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，求得b，設△AOB的重心為G（x，y），則x和y的表達式可得，聯(lián)立后消去k則x和y的關系式可得．

解答 解：顯然直線AB的斜率存在，記為k，AB的方程記為：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入y=x²得：x²-kx-b=0，則有：
△=k²+4b＞0①，x₁+x₂=k②，x₁x₂=-b③，又y₁=x₁²，y₂=x₂²
∴y₁y₂=b²；
∵AO⊥BO，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
得：-b+b²=0且b≠0，
∴b=1，代入①驗證，滿足；
故y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=k²+2；
設△AOB的重心為G（x，y），
則x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$=$\frac{k}{3}$④，y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{3}$=$\frac{{k}^{2}+2}{3}$⑤，
由④⑤兩式消去參數(shù)k得：G的軌跡方程為$y=3{x}^{2}+\frac{2}{3}$．
故答案為：$y=3{x}^{2}+\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．上述求軌跡的方法稱為“參數(shù)法”，一般先設法將動點坐標用“參數(shù)”表示，再消參數(shù)．