Question

4．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（0＜b＜3）$的左、右焦點分別為F₁、F₂，橢圓上存在一點A，使得AF₁=2AF₂，且∠F₁AF₂=90°
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：x=1與橢圓C交于P，Q兩點，點M為橢圓C上一動點，直線PM，QM與x軸分別交于點R，S，求證：|OR|•|OS|為常數(shù)（O為原點），并求出這個常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由已知列式求得c²，結(jié)合隱含條件求得b²，則橢圓方程可求；
（2）把x=1代入橢圓方程，求出P，Q的坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)，分別寫出PM，QM的方程，取y=0求出R，S的橫坐標(biāo)，代入|OR|•|OS|，結(jié)合M在橢圓上可得|OR|•|OS|為常數(shù)9．

解答 （1）解：由AF₁=2AF₂，且∠F₁AF₂=90°，得$\left\{\begin{array}{l}{A{F}_{1}=2A{F}_{2}}\\{A{F}_{1}+A{F}_{2}=6}\\{A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：c²=5，∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）證明：把x=1代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，得P（1，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$），Q（1，-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$），
設(shè)M（x₀，y₀），則${k}_{PM}=\frac{{y}_{0}-\frac{4\sqrt{2}}{3}}{{x}_{0}-1}$，直線PM：$y-\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{{y}_{0}-\frac{4\sqrt{2}}{3}}{{x}_{0}-1}（x-1）$，
取y=0，可得${x}_{R}=\frac{3{y}_{0}-4\sqrt{2}{x}_{0}}{3{y}_{0}-4\sqrt{2}}$；同理可得：x_S=$\frac{3{y}_{0}+4\sqrt{2}{x}_{0}}{3{y}_{0}+4\sqrt{2}}$．
∴|OR|•|OS|=|$\frac{9{{y}_{0}}^{2}-32{{x}_{0}}^{2}}{9{{y}_{0}}^{2}-32}$|，①
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，∴$9{{y}_{0}}^{2}=36-4{{x}_{0}}^{2}$，代入①，得|OR|•|OS|=|$\frac{9{{y}_{0}}^{2}-32{{x}_{0}}^{2}}{9{{y}_{0}}^{2}-32}$|=|$\frac{36（1-{{x}_{0}}^{2}）}{4（1-{{x}_{0}}^{2}）}$|=9．
∴|OR|•|OS|為常數(shù)9．

點評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．