Question

AB為過拋物線x²=4y焦點F的一條弦，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以下結(jié)論正確的是

①②③

，
①x₁x₂=-4，且y₁y₂=1
②|AB|的最小值為4
③以AF為直徑的圓與x軸相切．

Answer 1

分析：可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，由韋達定理可判斷①正確；利用弦長公式表示出|AB|，由表達式可知②正確；通過計算圓心到x軸的距離、半徑可判斷③正確；

解答：解：因為直線AB過拋物線的焦點F（0，1），故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，
則x₁x₂=-4，x₁+x₂=4k，
y1y2=

1

4

x12•

1

4

x22=

1

16

(x1x2)2=

1

16

×16=1，故①正確；
由拋物線定義得，|AB|=（y₁+1）+（y₂+1）=（kx₁+1+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+4=4k²+4≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號，所以|AB|的最小值為4，故②正確；
F（0，1），則圓心C（

x1

2

，

y1+1

2

），圓心到x軸的距離d=

y1+1

2

，直徑|AF|=

(x12+(y1-1)2

=

4y1+(y1-1)2

=y₁+1，半徑r=

1

2

|AF|=

y1+1

2

，d=r，
所以以AF為直徑的圓與x軸相切，故③正確；
故答案為：①②③．

點評：本題考查拋物線的性質(zhì)、方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生解決問題的能力．