Question

四棱錐P-ABCD底面是平行四邊形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD=1，∠BAD=60°，E，F分別為AD，PC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAB
（Ⅱ）求三棱錐V_P-ABD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：計算題,作圖題,證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）取PB中點G，連接AG，FG，由線線平行證明線面平行，（2）在平面PAB中，作PH⊥AB于點H．求底面面積和體高，可得體積．

解答： 解：（1）證明：取PB中點G，連接AG，FG，
又∵F為PC的中點，
∴GF是△PBC的中位線，
即GF

∥ .

.

1

2

BC，
∵四邊形ABCD底面是平行四邊形，E分別為AB的中點，
∴AE

∥ .

.

1

2

BC，
∴GF

∥ .

.

AE，
即四邊形AEFG是平行四邊形，
∴EF∥AG，又∵AG?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）在平面PAB中，作PH⊥AB于點H．
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PH?平面PAB，PH⊥AB，
∴PH⊥平面ABCD，
∴PH是三棱錐P-ABD的高，
∵在等邊三角形PAB中，PA=PB=AB=1，
∴PH=

3

2

，
∵在△ABD中，AB=1，AD=2，∠BAD=600∴S△ABD=

1

2

×2×1×sin600=

3

2

∴VP-ABD=

1

3

S△ABD•PH=

1

3

×

3

2

×

3

2

=

1

4

．

點評：本題考查了輔助線的作法，線線平行證明線面平行的一般方法及體積的求法，屬于中檔題．