Question

13．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓錐曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)P（3，3）的直線(xiàn)l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{4}{5}t\\ y=3+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求原點(diǎn)（0，0）到直線(xiàn)l的距離；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）直線(xiàn)l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{4}{5}t\\ y=3+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：原點(diǎn)（0，0）到直線(xiàn)l的距離d．
（II）圓錐曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），即x²+y²=1．把直線(xiàn)l的方程代入化為：5t²+42t+85=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）直線(xiàn)l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{4}{5}t\\ y=3+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為：3x-4y+3=0，
∴原點(diǎn)（0，0）到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{3}{5}$．
（II）圓錐曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），即x²+y²=1．
把直線(xiàn)l的方程代入化為：5t²+42t+85=0，∴t₁t₂=17．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=17．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．