函數(shù)f(x)=x+
a
x
．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）若a=2，證明函數(shù)在（2，+∞）單調(diào)增；
（3）對任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范圍．
（1）f（x）是奇函數(shù)，證明如下：
由題意可得，函數(shù)的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點對稱
∵f（-x）=-x-
a
x
=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明；當a=2時，f（x）=x+
2
x
，∴f′(x)=1-
2
x2

當x＞2時，f′(x)=1-
2
x2
＞0恒成立
∴函數(shù)在（2，+∞）單調(diào)增；
（3）當a≤0時，f(x)=x+
a
x
在x∈（1，2）單調(diào)遞增
∴1+a＜f(x)＜2+
a
2

∴1+a≥3
∴a≥2（舍）
當a＞0時，f(x)=x+
a
x
在（0，
a
]單調(diào)遞減，在[
a
，+∞）單調(diào)遞增
∴2
a
＞3
∴a＞
9
4

∴a的范圍是(
9
4
，+∞)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下面對命題“函數(shù)f（x）=x+
1
x
是奇函數(shù)”的證明不是綜合法的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

分段函數(shù)f（x）=
x，x＞0
-x，x≤0
可以表示為f（x）=|x|，同樣分段函數(shù)f（x）=
x ，x≤3
3 ，x＞3
可以表示為f（x）=
1
2
（x+3-|x-3|），仿此，分段函數(shù)f（x）=
3 ，x＜3
x ，x≥3
可以表示為f（x）=
1
2
（x+3-|x-3|）
1
2
（x+3-|x-3|）
，分段函數(shù)f（x）=
a ，x≤a
x ，a＜x＜b
b ，x≥b
可以表示為f（x）=
1
2
（a+b+|x-a|-|x-b|）
1
2
（a+b+|x-a|-|x-b|）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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