Question

【題目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：
①M(fèi)={ }；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log2x}；
④M={（x，y）|y=ex﹣2}．
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是（ ）
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：對(duì)于①y= 是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，所以在同一支上，任意（x1 ， y1）∈M，不存在（x2 ， y2）∈M，滿足好集合的定義；在另一支上對(duì)任意（x1 ， y1）∈M，不存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
對(duì)于②M={（x，y）|y=sinx+1}，對(duì)于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；正確．
對(duì)于③M={（x，y）|y=log2x}，取點(diǎn)（1，0），曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
對(duì)于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，如下圖紅線的直角始終存在，對(duì)于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），則N（ln2，0），滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；正確．

所以②④正確．
故選D．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解命題的真假判斷與應(yīng)用(兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系)．