【題目】已知a>0,函數(shù)f(x)= +|lnx﹣a|,x∈[1,e2].
(1)當(dāng)a=3時,求曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程;
(2)若f(x)≤ 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=3時,f(x)= +|lnx﹣3|= ﹣lnx+3,x∈[1,e2];

故f(3)=1﹣ln3+3=4﹣ln3,

f′(x)=﹣ ,f′(3)=﹣ =﹣ ;

故曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程為y﹣(4﹣ln3)=﹣ (x﹣3),

即2x+3y﹣18+3ln3=0


(2)解:由題意得, +|lnx﹣a|≤

當(dāng)a≥2時,上式可化為 ﹣lnx+a≤ 恒成立,

﹣lnx+a在[1,e2]上是減函數(shù),

故只需使a+a≤ ,無解;

當(dāng)0<a<2時,

f(x)= ,

故f(x)在[1,ea]上是減函數(shù),在[ea,e2]上是增函數(shù),

故只需使 ;

解得 ≤a≤


【解析】(1)當(dāng)a=3時,化簡f(x)= +|lnx﹣3|= ﹣lnx+3,x∈[1,e2];從而求導(dǎo),再求切線方程;(2)由題意得, +|lnx﹣a|≤ ,分a≥2與0<a<2討論求函數(shù)的最值,從而化恒成立問題為最值問題即可.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

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①M={ };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③M={(x,y)|y=log2x};
④M={(x,y)|y=ex﹣2}.
其中是“垂直對點集”的序號是(
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④

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