如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．
（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

試題分析：（1）由題意可知，為等腰三角形，是邊上的中線，所以，再由已知條件算出的三條邊長，由此根據(jù)勾股定理，可證,從而得證平面；（2）作于F，連AF，由（1）知， 故，所以 ,則 是二面角的平面角，利用平面幾何知識即可算出其正切值；（3）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824025809851729.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,從而求出．也可以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，利用利用空間向量方法，求解各個小題，詳見解析．
試題解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)OC


在中，由已知可得而
即
平面
（Ⅱ）解： 作于F，連AF
由（1）知， 故 
 , 是二面角的平面角，
易知,.
即所求二面角的正切值為 
（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為


在中，

而

點(diǎn)E到平面ACD的距離為
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

（Ⅲ）解：設(shè)平面ACD的法向量為則


令得是平面ACD的一個法向量，又
點(diǎn)E到平面ACD的距離．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，是棱上的一點(diǎn)，是的延長線與的延長線的交點(diǎn)，且∥平面。

(1)求證：；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖，在四面體A?BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點(diǎn).

（1）證明：平面ABC平面ADC；
（2）若ÐBDC=60°，求二面角C?BM?D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為邊長為5的正方形，AE平面CDE，AE=3.

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖,在三棱錐中,側(cè)面與底面垂直, 分別是的中點(diǎn),,,.

(Ⅰ)求證：平面;
(Ⅱ)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn).

（1）若，求證：平面平面；
（2）點(diǎn)在線段上，，試確定的值，使平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上動點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.

（Ⅰ）當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時，求證：CF∥平面AEB1；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A—EB1—B的余弦值是，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，直線平面，垂足為，直線是平面的一條斜線，斜足為，其中，過點(diǎn)的動直線交平面于點(diǎn)，，則下列說法正確的是___________．

①若，則動點(diǎn)B的軌跡是一個圓；
②若，則動點(diǎn)B的軌跡是一條直線；
③若，則動點(diǎn)B的軌跡是拋物線；
④，則動點(diǎn)B的軌跡是橢圓；
⑤，則動點(diǎn)B的軌跡是雙曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)是三個互不重合的平面，是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是（   ）
A．若，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，，則

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