Question

已知α，β是三次函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx(a，b∈R)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且α∈（0，1），β∈（1，2），求動(dòng)點(diǎn)（a，b）所在區(qū)域面積S．

Answer 1

分析：已知α，β是三次函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx(a，b∈R)的兩個(gè)極值點(diǎn)，對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，可知α，β是方程x²+ax+2b=0的兩個(gè)根，根據(jù)α∈（0，1），β∈（1，2），求出可行域，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；

解答：解：由函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx(a，b∈R)可得，
f'（x）=x²+ax+2b，…（2分）
由題意知，α，β是方程x²+ax+2b=0的兩個(gè)根，…（5分）
且α∈（0，1），β∈（1，2），
因此得到可行域

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+26＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

…（9分）
即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，畫出可行域如圖．…（11分）
所以S=

1

2

×1×1=

1

2

…（12分）；

點(diǎn)評：此題是一道簡單的線性規(guī)劃問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系得出可行域，此題是一道基礎(chǔ)題；