Question

5．已知圓C₁：x²+y²+6x=0關(guān)于直線l₁：y=2x+1對(duì)稱的圓為C
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（-1，0）作直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的直線，使得在平行四邊形OASB中|$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）化圓C₁的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求出圓心關(guān)于直線l₁的對(duì)稱點(diǎn)，則圓C的方程可求；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|=$|\overrightarrow{BA|}$，得四邊形OASB為矩形，則OA⊥OB，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得直線的方程為x=-1，求出A，B的坐標(biāo)，滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為y=k（x+1），聯(lián)立直線方程與圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$求得k值，則直線方程可求．

解答 解：（1）圓C₁：x²+y²+6x=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）²+y²=9，
設(shè)圓C₁的圓心C₁（-3，0）關(guān)于直線l₁：y=2x+1的對(duì)稱點(diǎn)為C（a，b），
則${k}_{{C}_{1}C}•{k}_{1}=-1$，且CC₁的中點(diǎn)M（$\frac{a-3}{2}$，$\frac{2}$）在直線l₁：y=2x+1上．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+3}×2=-1}\\{（a-3）-\frac{2}+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴圓C的方程為（x-1）²+（y+2）²=9；
（2）如圖：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由|$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|=$|\overrightarrow{BA|}$，得四邊形OASB為矩形，∴OA⊥OB，
必須使$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得直線的方程為x=-1，
與圓C：（x-1）²+（y+2）²=9交于兩點(diǎn)A（-1，$\sqrt{5}-2$），B（-1，$-\sqrt{5}-2$）．
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（-1）×（-1）+（\sqrt{5}-2）×（-\sqrt{5}-2）=0$，
∴OA⊥OB，
∴當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l：x=-1滿足條件；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為y=k（x+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y+2）^{2}=9}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（2k²+4k-2）x+k²+4k-4=0，
由于點(diǎn)（-1，0），在圓C內(nèi)部，∴△＞0恒成立，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4k-2}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}$，
由x₁x₂+y₁y₂=0，得$\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}+{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）=0$，
整理得$（1+{k}^{2}）\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}-{k}^{2}•\frac{{k}^{2}+4k-2}{1+{k}^{2}}+{k}^{2}=0$，
解得k=1，∴直線方程為y=x+1，
∴存在直線x=-1和y=x+1，它們與圓C交A，B兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．