Question

在二項(xiàng)式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．
（1）求展開式的第四項(xiàng)；
（2）求展開式的常數(shù)項(xiàng)；
（3）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和；
（4）求展開式的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：觀察題設(shè)及四個(gè)問題，知本題是考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與等差數(shù)列性質(zhì)的題，由前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列建立方程求出n，
（1）由二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的公式求出第四項(xiàng)；
（2）由二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的公式，令x的指數(shù)為0即可求出常數(shù)項(xiàng)；
（3）可令二項(xiàng)式中的變量為1，計(jì)算可得二項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)和；
（4）令二項(xiàng)展開式中x的指數(shù)為整數(shù)即可求出所有的有理項(xiàng)．

解答：解：因?yàn)榈谝�、二、三�?xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值分別為C_n⁰，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

∴

C

0 n

+

1

4

C

2 n

= 2×

1

2

C

1 n

∴n²-9n+8=0
解得n=8．
（1）第四項(xiàng) T4=

C

3 8

(

3	x

)5 (-

1

2 3 x

)3=-7 x

2

3

（2）通項(xiàng)公式為 Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，
令

8-2r

3

=0，得r=4
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 T5=

C

4 8

(-

1

2

)4=

35

8

（3）令二項(xiàng)式中的x=1，則有展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為(1-

1

2

)8=(

1

2

)8…（10分）
（4）通項(xiàng)公式為 Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，考察x的指數(shù)知，r=1，4，7時(shí)，x的指數(shù)為整數(shù)，即：
T₂=-4x²，T5=

35

8

，T8=-

1

16x2

此三項(xiàng)為展開式中的有理項(xiàng)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)項(xiàng)的展開式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)本題屬于公式運(yùn)用型，考查了推理判斷的能力及計(jì)算能力