Question

【理科】雙曲線

x2

4

-y2=1與直線y=kx+1有唯一公共點，則k值為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、-

  2

  2

• C、±

  2

  2

• D、±

  2

  2

  或±

  1

  2

Answer 1

考點：雙曲線的應用

專題：計算題,分類討論,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：聯立雙曲線

x2

4

-y2=1與直線y=kx+1，化為（1-4k²）x²-8kx-8=0．分類討論：當1-4k²=0時，可得k=±

1

2

，此時直線l與雙曲線的漸近線平行，滿足題意；當1-4k²≠0時，由直線與雙曲線有且只有一個公共點，可得△=0，解出即可．

解答： 解：聯立雙曲線

x2

4

-y2=1與直線y=kx+1，化為（1-4k²）x²-8kx-8=0．
①當1-4k²=0時，可得k=±

1

2

，此時直線l的方程為y=±

1

2

x+1，分別與等軸雙曲線的漸近線平行，此時直線l與雙曲線有且只有一個交點，滿足題意；
②當1-4k²≠0時，由直線與雙曲線有且只有一個公共點，可得△=64k²+32（1-4k²）=0，解得k=±

2

2

．此時滿足條件．
綜上可得：k=±

1

2

，或k=±

2

2

．
故選D．

點評：本題考查了直線與雙曲線的位置關系及其性質、一元二次方程與△的關系、分類討論等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．