Question

已知函數(shù)f（x）=4^x-2^x，實數(shù)s，t滿足f（s）+f（t）=0，設a=2^s+2^t，b=2^s+t．
（1）當函數(shù)f（x）的定義域為[-1，1]時，求f（x）的值域；
（2）求函數(shù)關(guān)系式b=g（a），并求函數(shù)g（a）的定義域；
（3）求8^s+8^t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）換元根據(jù)單調(diào)性求解g（t）=t²-t，

1

2

≤t≤2，
（2）配方得出：（2^s+2^t）²-2•2^s+t-（2^s+2^t）=0，a²-2b-a=0，a≥2

b

，a≥2

a2-a 2

，a＞0
求解即可得出b=

a2-a

2

，0＜a≤2
（3）化簡得出h（a）=8^s+8^t=a×[a²-3b]=-

1

2

a3+

3

2

a²，0＜a≤2，利用導數(shù)求解即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=4^x-2^x，f（x）的定義域為[-1，1]時
∴

1

2

≤2x≤2，t=2^x
g（t）=t²-t，

1

2

≤t≤2，
∴可判斷[

1

2

，2]單調(diào)遞增，
g（

1

2

）=-

1

4

，g（2）=2，
∴f（x）的值域為：[-

1

4

，2]．
（2）∵f（s）+f（t）=0，
∴4^s-2^s+4^t-2^t=0
化簡得出：（2^s+2^t）²-2•2^s+t-（2^s+2^t）=0，
∵a=2^s+2^t，b=2^s+t．2^s+2^t≥2

2s+t

．a(chǎn)≥2

b

∴a²-2b-a=0，a≥2

b

，a≥2

a2-a 2

，a＞0
即b=

a2-a

2

，0＜a≤2
（3）（3）8^s+8^t=（2^s）³+（2^t）³=（2^s+2^t）[（2^s+2^t）²-3•2^s+t]，
∵設a=2^s+2^t，b=2^s+t．
∴h（a）=8^s+8^t=a×[a²-3b]=-

1

2

a3+

3

2

a²，0＜a≤2
h（a）′=-

3

2

a²+3a，h′=0，a=0，a=2，
h′＞0，0＜a≤2，
∴h（a）在（0，2]單調(diào)遞增，
h（0）=0，h（2）=2，
∴8^s+8^t的取值范圍：（0，2]

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，配方求解，綜合利用導數(shù)求解，函數(shù)思想的運用，屬于綜合題，難度不大．