Question

10．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，求S_n．

Answer 1

分析 由數(shù)列的通項(xiàng)和求和之間的關(guān)系：n=1時(shí)S₁=a₁=1，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合條件化簡(jiǎn)整理可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，再由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)，即可得到所求S_n．

解答 解：n=1時(shí)S₁=a₁=1，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
又a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
即有S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
化簡(jiǎn)可得S_n-1-S_n=2S_n-1•S_n，
即有$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
可得{$\frac{1}{{S}_{n}}$}為1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
即有$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
則S_n=$\frac{1}{2n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和之間的關(guān)系，同時(shí)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，屬于中檔題．