Question

8．已知中心在原點(diǎn)的橢圓Γ₁和拋物線Γ₂有相同的焦點(diǎn)（1，0），橢圓Γ₁的離心率為$\frac{1}{2}$，拋物線Γ₂的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．
（Ⅰ） 求橢圓Γ₁和拋物線Γ₂的方程；
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)P為拋物線Γ₂準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線Γ₂的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓Γ₁和拋物線Γ₂的方程分別為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），y²=2px，（p＞0），由橢圓Γ₁和拋物線Γ₂有相同的焦點(diǎn)（1，0），橢圓Γ₁的離心率為$\frac{1}{2}$，列出方程組求出a，b，p，由此能求出橢圓Γ₁和拋物線Γ₂的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（-1，t），過點(diǎn)P與拋物線y²=4x相切的直線方程為y-t=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y-t=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得${y}^{2}-\frac{4}{k}y+\frac{4t}{k}+4=0$，由此利用根的判別式能證明k₁k₂為定值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓Γ₁和拋物線Γ₂的方程分別為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），y²=2px，（p＞0），
∵橢圓Γ₁和拋物線Γ₂有相同的焦點(diǎn)（1，0），橢圓Γ₁的離心率為$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{c=1}\\{\frac{p}{2}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，p=2，∴b=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴橢圓Γ₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，拋物線Γ₂的方程為y²=4x．
（Ⅱ）證明：設(shè)P（-1，t），過點(diǎn)P與拋物線y²=4x相切的直線方程為y-t=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-t=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得${y}^{2}-\frac{4}{k}y+\frac{4t}{k}+4=0$，
由△=（-$\frac{4}{k}$）²-4（$\frac{4t}{k}+4$）=0，得k²+tk-1=0，
∵直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，∴k₁k₂=-1．
∴k₁k₂為定值．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，考查兩直線的斜率之積為定值的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．