Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求實數(shù)a的值；
（2）若n∈N^*，證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

Answer 1

分析：（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，即f（x）的最小值大于等于1，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題．利用導(dǎo)數(shù)求解．
（2）函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題中，不等式的證明可考慮利用前面得到的函數(shù)的性質(zhì)進行．

解答：（本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、最值、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查分析問題和解決問題的能力、以及創(chuàng)新意識）
（1）解：∵f（x）=e^x-x，∴f'（x）=e^x-1．令f'（x）=0，得x=0．
∴當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）=e^x-x在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=0時，f（x）有最小值1
（2）證明：由（1）知，對任意實數(shù)x均有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
令x=-

k

n

（n∈N^*，k=1，2，，n-1），則0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，
∴(1-

k

n

)n≤(e- 

k

n

)n=e-k(k=1，2，，n-1)．
即(

n-k

n

)n≤e-k(k=1，2，，n-1)．∵(

n

n

)n=1，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n++(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1．
∵e-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n++(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

點評：本題考查不等式恒成立問題、函數(shù)求最值、不等式的證明問題，以及化歸轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，綜合性強，難度較大．