Question

18．在四棱錐P-ABCD中，△ABC，△ACD都為等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，△PAC是邊長為2的等邊三角形，PB=$\sqrt{2}$，E為PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角C-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BE⊥BC，利用BC∥AD，可得BE⊥AD，結(jié)合BE⊥PA，證明BE⊥平面PAD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAC、PAD的一個(gè)法向量，即可求二面角C-PA-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵△ABC與△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠DAC=45°，$AC=\sqrt{2}BC$，∴BC∥AD，$AB=BC=\sqrt{2}$，
∵E為PA的中點(diǎn)，且$AB=PB=\sqrt{2}$，∴BE⊥PA，
在△PBC中，PC²=PB²+BC²，∴BC⊥PB．
又∵BC⊥AB，且PB∩AB=B，∴BC⊥平面PAB，
∵BE?平面PAB，∴BE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴BE⊥AD，
又∵PA∩AD=A，∴BE⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可以BC，AB，BP兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，BC，AB，BP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則$A（{0，\sqrt{2}，0}）$，B（0，0，0），$C（{\sqrt{2}，0，0}）$，$P（{0，0，\sqrt{2}}）$，則$\overrightarrow{AC}=（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0}）$，$\overrightarrow{AP}=（{0，-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$．
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AP}=0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ y-z=0\end{array}\right.$∴取$\overrightarrow m=（{1，1，1}）$
又由（Ⅰ）知BE⊥平面PAD，故$\overrightarrow{BE}=（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$為平面PAD的一個(gè)法向量，
∴$cos＜\overrightarrow m$，$\overrightarrow{BE}＞=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
故二面角C-PA-D的余弦值$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查面面角，考查向量方法的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．