7.若向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=3,則|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|的取值范圍是[$\frac{5}{4}$,$\frac{13}{4}$].

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為θ,由數(shù)量積的計(jì)算公式可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{4}{5}$,分析可得180°≥θ>90°,
由-1≤cosθ<0,且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ=-$\frac{4}{5}$,得出|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|的取值范圍.

解答 解:設(shè)向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為θ,
對于向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$有:|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2①,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=3②,
2-②2可得:4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-5,即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{5}{4}$,
且向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角θ滿足0°≤θ≤180°,
∴有-1≤cosθ≤1,
由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ=-$\frac{5}{4}$,
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|=$\frac{-\frac{5}{4}}{cosθ}$,
∵|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|≥0,∴-1≤cosθ<0,
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|≥$\frac{5}{4}$;
又①2+②2得:2${\overrightarrow{a}}^{2}$+2${\overrightarrow}^{2}$=13,
∴${|\overrightarrow{a}|}^{2}$+${|\overrightarrow|}^{2}$=$\frac{13}{2}$,
且${|\overrightarrow{a}|}^{2}$+${|\overrightarrow|}^{2}$≥2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|,
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|≤$\frac{13}{4}$;
綜上,$\frac{5}{4}$≤|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|≤$\frac{13}{4}$.
故答案為:[$\frac{5}{4}$,$\frac{13}{4}$].

點(diǎn)評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問題,掌握數(shù)量積與夾角公式是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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已知,則“”是“”的( )

A.充分非必條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件

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18.在四棱錐P-ABCD中,△ABC,△ACD都為等腰直角三角形,∠ABC=∠ACD=90°,△PAC是邊長為2的等邊三角形,PB=$\sqrt{2}$,E為PA的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BE⊥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角C-PA-D的余弦值.

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15.在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BAD=120°,點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AD上,平面CEF與PA交于點(diǎn)K,且PA=AB=3,AF=2,則點(diǎn)K到平面PBD的距離為$\frac{9\sqrt{5}}{25}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的方程為y=3+$\sqrt{-{x}^{2}+8x-15}$.
(1)寫出曲線C的一個(gè)參數(shù)方程;
(2)在曲線C上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸,y軸的垂線,垂足分別為A,B,求矩形OAPB的周長的取值范圍.

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12.某校640名畢業(yè)生學(xué)生,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取32人做問卷調(diào)查,將640人按1,2,…,640隨機(jī)編號,則抽取的32人中,編號落入?yún)^(qū)間[161,380]的人數(shù)為(  )
A.10B.11C.12D.13

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19.已知點(diǎn)A,B是拋物線y2=4x上的兩點(diǎn),點(diǎn)M(3,2)是線段AB的中點(diǎn),則|AB|的值為( 。
A.4B.4$\sqrt{2}$C.8D.8$\sqrt{2}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.下列說法:
①正切函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù);
②函數(shù)$f(x)=cos(\frac{2}{3}x+\frac{π}{2})$是奇函數(shù);
③$x=\frac{π}{8}$是函數(shù)$f(x)=sin(2x+\frac{5π}{4})$的一條對稱軸方程;
④扇形的周長為8cm,面積為4cm2,則扇形的圓心角為2rad;
⑤若α是第三象限角,則$\frac{{|{sin\frac{α}{2}}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|{cos\frac{α}{2}}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$取值的集合為{-2,0},
其中正確的是②③④.(寫出所有正確答案的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,D為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn),DF1的延長線與橢圓相交于G.△DGF2的周長為8,|DF1|=3|GF1|.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)過橢圓E的左頂點(diǎn)A作橢圓E的兩條互相垂直的弦AB、AC,試問直線BC是否恒過定點(diǎn)?若是,求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案