Question

有一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為5、圓心角為

6π

5

的扇形，在這個圓錐中內(nèi)接一個高為x的圓柱．
（1）求圓錐的體積；
（2）當(dāng)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用側(cè)面展開圖中心角公式求得圓錐的底面圓半徑，再利用勾股定理求得圓錐的高，代入圓錐的體積公式計算；
（2）根據(jù)軸截面圖，設(shè)圓柱的底面半徑為R，可得

3-R

3

=

x

4

，求出內(nèi)接圓柱的底面圓半徑，計算圓柱的側(cè)面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵圓錐側(cè)面展開圖的半徑為5，
∴圓錐的母線長為5．
設(shè)圓錐的底面半徑為r，
則2πr=

216×π×5

180

，解得r=3，
∴圓錐的高為4．
∴圓錐的體積V=

1

3

π×32×4=12π；
（2）設(shè)圓柱的底面半徑為R，則

3-R

3

=

x

4

，∴R=3-

3

4

x，
∴圓柱的側(cè)面積為2π（3-

3

4

x）x=

3

2

π（4-x）x≤

3

2

π×(

4-x+x

2

)2=6π，
當(dāng)且僅當(dāng)4-x=x，即x=2時，圓柱的側(cè)面積最大．

點評：本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖及側(cè)面展開圖中心角公式，考查了圓錐與圓柱的體積公式，解題的關(guān)鍵是利用比例關(guān)系求得內(nèi)接圓柱的底面圓半徑．