已知點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上，∠PDA=60°．則DP與CC1所成角的大小是
 
．
分析：設正方體的棱長等于1，建立如圖所示空間直角坐標系．連接BD、B1D1，在平面BB1D1D中延長DP，交B1D1于H．由題意得＜
DH
，
DA
＞=60°，設
DH
=（m，m，1），結合
DA
=（1，0，0）利用向量數(shù)量積公式建立關于m的方程解出m=
2
2
，得出
DH
的坐標，最后由向量的夾角公式算出cos＜
DH
，
CC1
＞=
2
2
，即得DP與CC1所成的角大�。�
解答：解：設正方體的棱長等于1，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，
則
DA
=（1，0，0），
CC1
=（0，0，1）．精英家教網(wǎng)
連接BD、B1D1，在平面BB1D1D中，延長DP交B1D1于H．
設
DH
=（m，m，1），由∠PDA=60°可得＜
DH
，
DA
＞=60°，
∴
DH
•
DA
=|
DH
|•|
DA
|cos60°=
1
2
|
DH
|•|
DA
|
可得2m=
2m2+1
，解之得m=
2
2
，所以
DH
=（
2
2
，
2
2
，1），
∵cos＜
DH
，
CC1
＞=
DH
•
CC′
|DH|
•
|CC′|
=
2
2
×0+
2
2
×0+1×1
1
2
+
1
2
+1
•1
=
2
2
，
∴＜
DH
，
CC1
＞=45°，即DP與CC1所成的角為45°．
故答案為：45°
點評：本題在正方體ABCD-A1B1C1D1中已知對角線上的點P滿足的條件，求DP與CC1所成的角大�。乜疾榱苏襟w的性質(zhì)和利用空間向量研究異面直線所成角大小的知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AB中點，棱長為2，P是底面ABCD上的動點，且滿足條件PD1=3PM，則動點P在底面ABCD上形成的軌跡是（　　）
A、圓B、橢圓C、雙曲線D、拋物線

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AB的中點，P是平面ABCD內(nèi)的動點，且滿足條件PD1=3PM，則動點P在平面ABCD內(nèi)形成的軌跡是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東實驗中學高二上學期期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

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（2）點P是線段A1C1(包括端點)上的一個動點，問：當點P在什么位置時，α+β有最小值？

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年臨川二中新余四中高三暑假聯(lián)考文科數(shù)學卷 題型：選擇題

已知正方體--中，M為AB中點，棱長為2，P是底面ABCD上的動點，且滿足條件，則動點P在底面ABCD上形成的軌跡是                       （   ）

A.圓　　　　　　B.橢圓　　　　　　　C.雙曲線　　　　　　　D.拋物線

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年浙江省寧波市余姚中學高三（上）第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AB中點，棱長為2，P是底面ABCD上的動點，且滿足條件PD1=3PM，則動點P在底面ABCD上形成的軌跡是（ ）
A．圓
B．橢圓
C．雙曲線
D．拋物線

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