Question

9．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，△DEF₂的面積為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．若M（x₀，y₀）在橢圓C上，則點N（$\frac{{x}_{0}}{a}$，$\frac{{y}_{0}}$）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知OP⊥OQ．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率以及三角形的面積求出橢圓的幾何量，即可得到橢圓方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$P（\frac{x_1}{2}，{y_1}），Q（\frac{x_2}{2}，{y_1}）$，由OP⊥OQ，即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+{y_1}{y_2}=0$． （*）
①當直線AB的斜率不存在時，$S=\frac{1}{2}|{x_1}|×|{y_1}-{y_2}|=1$．②當直線AB的斜率存在時，設其直線為y=kx+m（m≠0）．聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達定理弦長公式，求解三角形的面積即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，△DEF₂的面積為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}（a-c）b$=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，b=1．
所求橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$P（\frac{x_1}{2}，{y_1}），Q（\frac{x_2}{2}，{y_1}）$．
由OP⊥OQ，即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+{y_1}{y_2}=0$． （*）
①當直線AB的斜率不存在時，$S=\frac{1}{2}|{x_1}|×|{y_1}-{y_2}|=1$．
②當直線AB的斜率存在時，設其直線為y=kx+m（m≠0）．$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，
（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，△=16（4k²+1-m²），${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，
同理${y_1}{y_2}=\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，代入（*），整理得4k²+1=2m²． 
 此時△=16m²＞0，$AB=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{|m|}$，$h=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，∴S=1
綜上，△ABO的面積為1．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，考查分類討論與轉化思想的應用．