Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AB，E是PC的中點．
證明：PD⊥平面ABE．

Answer 1

分析 證明PD⊥面ABE，關鍵是證明AB⊥PD，AE⊥PD．

解答 證明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD
又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD；
又設AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，AB⊥AD，∠ABC=60°，
∴CD=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{4}{3}{a}^{2}-2•a•\frac{2\sqrt{3}}{3}a•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
∴AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴CD⊥AE．
∵PA=AB=BC=AC，E是PC的中點，
∴AE⊥PC，
∵CD∩PC=C，
∴AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．
∵AB∩AE=A，
∴PD⊥面ABE．

點評 本題主要考查了線面垂直的判定，同時考查了空間想象能力，推理論證能力，屬于中檔題．