Question

已知關(guān)于x的方程x²+bx+c=0
（Ⅰ）若b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，求方程x²+bx+c=0有實(shí)根的概率；
（Ⅱ）若b∈[-1，1]，c∈[-1，1]，方程x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根為x₁、x₂，求x₁∈（-1，0）且x₂∈（0，1）的概率．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)題中的條件可判斷屬于古典概率模型，然后分別求解試驗(yàn)產(chǎn)生的所有結(jié)果n，基本事件的結(jié)果數(shù)m，代入古典概率模型的計(jì)算公式P（A）=

m

n

進(jìn)行計(jì)算；
（II）設(shè)f（x）=x²+bx+c，將方程x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根為x₁、x₂，且x₁∈（-1，0）且x₂∈（0，1）等價(jià)轉(zhuǎn)化為：

f(-1)＞0 f(0)＜0 f(1)＞0

化簡(jiǎn)得

1-b+c＞0 c＜0 1+b+c＞0

，再在b-O-c系中畫(huà)出此不等式表示的平面區(qū)域，根據(jù)幾何概型所求概率．

解答：解：（I）將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b，c，共有36種結(jié)果：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6），
屬于古典概率模型．
記“方程x²+bx+c=0有實(shí)根”為事件A，則△=b²-4c≥0⇒b≥2

c

，
A包含的結(jié)果有：（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19種結(jié)果，
由古典概率的計(jì)算公式可得，方程x²+bx+c=0有實(shí)根的概率P（A）=

19

36

．
（II）設(shè)f（x）=x²+bx+c，
方程x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根為x₁、x₂，且x₁∈（-1，0）且x₂∈（0，1）等價(jià)于：

f(-1)＞0 f(0)＜0 f(1)＞0

?

1-b+c＞0 c＜0 1+b+c＞0

，
在b-O-c系中畫(huà)出此不等式表示的平面區(qū)域，圖中三角形區(qū)域，
又b∈[-1，1]，c∈[-1，1]，它表示的平面區(qū)域是一個(gè)正方形，如圖，
根據(jù)幾何概型可得，x₁∈（-1，0）且x₂∈（0，1）的概率P=

S三角形

S正方形

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了幾何概型、古典概率的求解．古典概率類(lèi)型題的求解有兩點(diǎn)：①首先清楚古典概率模型的特征：結(jié)果有限且每種結(jié)果等可能出現(xiàn)②古典概率的計(jì)算公式：P（A）=

m

n

（其中n是試驗(yàn)的所有結(jié)果，m是基本事件的結(jié)果數(shù)．本題考查幾何概型的概率，在解題過(guò)程中主要應(yīng)用圖解法來(lái)表示出所有的滿(mǎn)足條件的區(qū)域，這是本題的精華部分．