Question

已知a為常數(shù)，求函數(shù)f（x）=x（3a-x²），x∈[0，1]的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求函數(shù)f（x）=x（3a-x²）=-x³+3ax的導(dǎo)數(shù)，對方程f'（x）=-3（x²-a）=0有無實(shí)根，和有根，根是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進(jìn)行討論，求得函數(shù)的極值，再與f（0）、f（1）比較大小，確定函數(shù)的最大值．

解答： 解：f'（x）=-3x²+3a=-3（x²-a）
若a≤0，則f'（x）=-3（x²-a）≤0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=0時，f（x）取得最大值，f（x）_max=f（0）=0
若a＞0，令f'（x）=-3（x²-a）=0，解得x=±

a

，
∵x∈[0，1]，則只考慮x=

a

的情況，
①當(dāng)0＜a＜1時，根據(jù)函數(shù)的增減性得，
當(dāng)x=

a

時，f（x）有最大值，f（x）_max=f（

a

）=2a

a

；
②當(dāng)

a

≥1，即a≥1時，根據(jù)函數(shù)的增減性得
當(dāng)x=1時，f（x）有最大值．f（x）_max=f（1）=3a-1．
綜合以上可知：
當(dāng)a≤0時，x=0，f（x）有最大值0；
當(dāng)0＜a＜1時，x=

a

，f（x）有最大值2a

a

；
當(dāng)a≥1時，x=1，f（x）有最大值3a-1．

點(diǎn)評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，對方程f'（x）=0有無實(shí)根，和有根，根是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，增加了題目的難度，屬中檔題．