Question

平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，命題：
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；
②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；
③如果k與b都是有理數(shù)，則直線y=kx+b必經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)；
④存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線；
其中的真命題是

 

（寫出所有真命題編號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：通過(guò)舉例，即可說(shuō)明①的真假；
通過(guò)反例即可判斷②的真假；
通過(guò)列舉反例即可判斷③的真假；
通過(guò)舉例，即可判斷命題④的真假．

解答： 解：對(duì)于①，令y=x+

1

2

，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)，∴①命題正確；
對(duì)于②，若k=

2

，b=

2

，則直線y=

2

x+

2

，經(jīng)過(guò)（-1，0），所以本命題錯(cuò)誤；
對(duì)于③，例如k=

1

3

，b=

1

2

，直線為y=

1

3

x+

1

2

=

2x+3

6

，滿足③，則2x+3被6整除，這是不可能的，則③不正確；
對(duì)于④，令k=

2

，b=0，直線為：y=

2

x恰經(jīng)過(guò)整點(diǎn)（0，0），∴命題④正確．
綜上，命題正確的序號(hào)有：①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用舉反例的方法說(shuō)明一個(gè)命題為假命題，要說(shuō)明一個(gè)命題是真命題必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的說(shuō)理證明，以及考查學(xué)生對(duì)題中新定義的理解能力，是一道中檔題．