已知直線l：ax+y=1在矩陣A=
12
01
對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本�l′：x+by=1．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求矩陣A的特征值與特征向量．
考點(diǎn)：矩陣特征值的定義,特征向量的定義
專題：選作題,矩陣和變換
分析：（1）任取直線l：ax+y=1上一點(diǎn)M（x，y），經(jīng)矩陣A變換后點(diǎn)為M′（x′，y′），利用矩陣乘法得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出直線l′的方程，從而建立關(guān)于a，b的方程，即可求得實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）先根據(jù)特征方程，求出特征值，然后把特征值代入Aα=λα，從而求出特征向量．
解答： 解：（1）設(shè)直線l：ax+y=1上任意點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M′（x′，y′）．
由
x′
y′
=
12
01
x
y
，得
x′=x+2y
y′=y

又點(diǎn)M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1
即x+（b+2）y=1．
依題意，得
a=1
b+2=1

解得a=1，b=-1；
（2）f（λ）=（λ-1）2，得矩陣A特征值為λ1=λ2=1，
將λ1=λ2=1代入方程Aα=λα可解得矩陣A屬于特征值λ1=λ2=1的特征向量為
1
0
．
點(diǎn)評：本題以矩陣為依托，考查矩陣的乘法，考查考查特征值與特征向量，關(guān)鍵是正確利用矩陣的乘法公式．
練習(xí)冊系列答案
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如圖為某幾何體三視圖，已知三角形的三邊長與圓的直徑均為2，求該幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xln（1+x）-a（x+1）（x＞0），其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）若函數(shù)g(x)=f′(x)-
2x
1+x
≥0定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)a=0時(shí)，
f(x)
x2
≤1；
（3）求證：
1
2
+
1
3
+…+
1
n+1
＜ln(1+n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)，求雙曲線C2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

兩個(gè)二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c與g（x）=-x2+2x+d的圖象有唯一的公共點(diǎn)P（1，-2），
（Ⅰ）求b，c，d的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=（f（x）+m）•g′（x），若F（x）在[-2，0]上是單調(diào)函數(shù)，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下表給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”（如圖），已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起每一行的公比都相等，記第i行第j列的數(shù)為aij（i≥j，i，j∈N*）．
（1）求a83；
（2）試寫出aij關(guān)于i，j的關(guān)系式；
（3）記第n行的和An，求數(shù)列{An}的前m項(xiàng)和Bm的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）化簡：f（α）=
sin(α+
3
2
π)sin(-α+π)cos(α+
π
2
)
cos(-α-π)cos(α-
π
2
)tan(α+π)

（2）求值：tan675°+sin（-330°）+cos960°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：等差數(shù)列{an}中，a1=1，S4=16，其前n項(xiàng)和為Sn．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=
3n
(n+1)Sn
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知0＜α＜
π
2
，cosα=
3
5
．
（1）求tanα的值；
（2）求cos2α+sin（α+
π
2
）的值．

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