Question

下表給出一個“三角形數陣”（如圖），已知每一列的數成等差數列，從第三行起每一行的公比都相等，記第i行第j列的數為a_ij（i≥j，i，j∈N^*）．
（1）求a₈₃；
（2）試寫出a_ij關于i，j的關系式；
（3）記第n行的和A_n，求數列{A_n}的前m項和B_m的表達式．

Answer 1

考點：數列的求和,進行簡單的合情推理

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）求出第一列的公差，利用等差數列的通項公式求a₈₃；    
（2）利用等比數列的性質寫出a_ij；
（3）先表示出A_n，B_m，然后利用錯位相減法求出數陣中所有數之和．

解答： 解：（1）由題意知，第一列公差為d=

1

2

-

1

4

=

1

4

，每行成等比數列，且公比q=

1

2

，
由已知a₈₁=

1

4

+(8-1)×

1

4

=2，
又a₈₃是第8行第3個數，
故a₈₃=a₈₁•q²=

1

2

；
（Ⅱ）∵a_i1=

1

4

+（i-1）×

1

4

=

i

4

，
∴a_ij=

i

4

．(

1

2

)j-1．
（Ⅲ）設數陣中第n行的所有數字之和為A_n，
則A_n=

n

4

（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）=

n

2

-

1

2

×

n

2n

．
所求之和B_m=A₁+A₂+…+A_m=

1

2

(1+2+…+m)-

1

2

（1×

1

2

+2×

1

22

+…+m•

1

2m

）．
設S=1×

1

2

+2×

1

22

+…+m•

1

2m

，
則

1

2

S=1×

1

22

+…+（m-1）•

1

2m

+m•

1

2m+1

，
兩式相減得

1

2

S=

1

2

+

1

22

+…+

1

2m

-

m

2m+1

=

1 2 [1-( 1 2 )m]

1- 1 2

-

m

2m+1

=1-

2+m

2m+1

，
∴B_m=

m(m+1)

4

-（1-

2+m

2m+1

）．

點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的綜合運用，運算量較大，綜合性較強，考查學生的運算能力．