Question

1．已知數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)均為正值，其前n項(xiàng)積為T(mén)_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）求和：S_n=a₁+2a₂+…+（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3-1．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)均為正值，其前n項(xiàng)積為T(mén)_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，可得n≥2時(shí)，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$，a₁=T₁．
（II）利用錯(cuò)位相減法即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)均為正值，其前n項(xiàng)積為T(mén)_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴n≥2時(shí)，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}{{2}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}}$=2^n-1．
又a₁=T₁=1．對(duì)于上式也成立．
∴a_n=2^n-1．
（II）設(shè)A_n=a₁+2a₂+…+（n+2）a_n+2=1+2×2+3×2²+…+（n+2）•2ⁿ⁺¹．
∴2A_n=2+2×2²+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹+（n+2）•2ⁿ⁺²，
相減可得：-A_n=1+2+2²+…+2ⁿ⁺¹-（n+2）•2ⁿ⁺²=$\frac{{2}^{n+2}-1}{2-1}$-（n+2）•2ⁿ⁺²，
∴A_n=（n+1）•2ⁿ⁺²+1．
∴S_n=a₁+2a₂+…+（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3-1
=（n+1）•2ⁿ⁺²+1-（n+1）×2ⁿ⁺²-1
=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．