Question

設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）恒過定點(diǎn)A（1，2），則雙曲線的中心到直線l：x=

a2

c

的距離的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）恒過定點(diǎn)A（1，2），可得

1

a2

-

4

b2

=1，利用橢圓幾何量之間的關(guān)系，設(shè)

a2

c

=

1

t

，可求得t²的最小值，因?yàn)殡p曲線的中心就是原點(diǎn)，從而即可求得雙曲線的中心到直線l的距離

1

t

的最大值．

解答： 解：設(shè)雙曲線的焦距為2c，同時(shí)可設(shè)

a2

c

=

1

t

，∴c=ta²
∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1恒過定點(diǎn)A（1，2），0＜a＜1
∴

1

a2

-

4

b2

=1
∴b²-4a²=a²b²
∴c²-3a²=a²（a²-c²）
∴t²a⁴-3a²=a²（a²-t²a⁴）
∴t²=

a2+3

a2+a4

=

1

1+a2

+

3

a2+a4

≥

2 3

a(1+a2)

∵雙曲線的中心就是原點(diǎn)
∴雙曲線的中心到直線l：x=

a2

c

的距離的最大值為

1

t

=

2 3 a(1+a2)

2 3

．
故答案為：

2 3 a(1+a2)

2 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．