Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°，求AB的長．

Answer 1

【答案】解：（I）以A為原點， ， ， 的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，
設(shè)AB=a，則A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（ ，1，0），B1（a，0，1）
故 =（0，1，1）， =（﹣ ，1，﹣1）， =（a，0，1）， =（ ，1，0），
∵ =1﹣1=0
∴B1E⊥AD1；
（II）假設(shè)在棱AA1上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE．此時 =（0，﹣1，t）．
又設(shè)平面B1AE的法向量 =（x，y，z）．
∵ ⊥平面B1AE，∴ ⊥B1A， ⊥AE，得 ，取x=1，得平面B1AE的一個法向量 =（1，﹣ ，﹣a）．
要使DP∥平面B1AE，只要 ⊥ ，即有 =0，有此得 ﹣at=0，解得t= ，即P（0，0， ），
又DP平面B1AE，
∴存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP=
（III）連接A1D，B1C，由長方體ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1⊥A1D．
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．
由（I）知，B1E⊥AD1 ， 且B1C∩B1E=B1 ．
∴AD1⊥平面DCB1A1 ，
∴ 是平面B1A1E的一個法向量，此時 =（0，1，1）．
設(shè) 與 所成的角為θ，則cosθ= =
∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°，
∴|cosθ|=cos30°= ，即| |= ，解得a=2，即AB的長為2

【解析】（Ⅰ）由題意及所給的圖形，可以A為原點， ， ， 的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)AB=a，給出圖形中各點的坐標，可求出向量 與 的坐標，驗證其數(shù)量積為0即可證出兩線段垂直．（II）由題意，可先假設(shè)在棱AA1上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量與直線DP的方向向量內(nèi)積為0，由此方程解出t的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的t的值，說明不存在這樣的點P滿足題意．（III）由題設(shè)條件，可求面夾二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°建立關(guān)于a的方程，解出a的值即可得出AB的長
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．