Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x²e^ax，a＞0．
（1）證明：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若方程f（x）-1=0有且只有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，由x∈（0，+∞）則f′（x）＞0，則函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）求導(dǎo)，f′（x）=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）極大值，由f（x）=1有且只有兩個不同的實數(shù)根，即$\frac{4}{{a}^{2}{e}^{2}}$=1，即可求得實數(shù)a的值．

解答 解：（1）證明：f（x）的定義域R，求導(dǎo)，f′（x）=2xe^ax+ax²e^ax=xe^ax（ax+2），
當(dāng)x∈（0，+∞）時，a＞0，則e^ax＞0，則xe^ax（ax+2）＞0，
則f′（x）＞0，
∴函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）令f′（x）=0，記得x=-$\frac{2}{a}$或x=0，

x	（-∞，-$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（$\frac{2}{a}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

則當(dāng)x=-$\frac{2}{a}$時，函數(shù)有極大值f（-$\frac{2}{a}$）=$\frac{4}{{a}^{2}{e}^{2}}$，
當(dāng)x=0時，函數(shù)有極小值f（0）=0，
當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，x→-∞時，f（x）→0，x→+∞時，f（x）→+∞，
由f（x）-1=0，即f（x）=1有且只有兩個不同的實數(shù)根，
即$\frac{4}{{a}^{2}{e}^{2}}$=1，解得：a=$\frac{2}{e}$，（負(fù)根舍去）
實數(shù)a的值$\frac{2}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性與極值關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．