Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對數(shù)的 底數(shù)）。
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）>ax的解集為P，若M={x|≤x≤2}且M∩P≠，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知n∈N*，且，是否存在等差數(shù)列{a_n} 和首項為f（1），公比大于0的等比數(shù)列{b_n}，使得a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=S_n？若存在，請求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）f'（x）=e^x-1
由f'（x）=0，得x=0
當x>0時，f'（x）>0；
當x＜0時，f'（x）＜0
∴f（x）在（0，+∞）上遞增，在（-∞，0）上遞減
∴f（x）_min=f（0）=1。
（2）∵M∩P≠，
∴f（x）>ax在區(qū)間上有解，
由f（x）>ax，得e^x-x>ax即在上有解
令
則
∴g（x）在上遞減，在[1，2]上遞增
又
且
∴
∴。
（3）假設(shè)存在公差為d的等差數(shù)列{a_n}和公比q>0，首項為f（1）的等比數(shù)列{b_n}，使a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+ b_n=S_n
∵
b₁=f（1）=e-1，
∴a₁+b₁=S₁即
∴
又n≥2時

故n=2，3時有

②-①×2得q²-2q=e²-2e，解得q=e或q=2-e（舍），
故q=e，d=-1，
此時

且
∴存在這樣的數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足題意。