Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}滿足：S_n=2ⁿ+a（n∈N₊）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并求最小的自然數(shù)n，使a_n＞2010；
（II）數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=-

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）a₁=2+a，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，{a_n}為等比數(shù)列，能導(dǎo)出其通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1．令2^n-1＞2010，又n∈N₊，由此能求出最小的自然數(shù)n=12．
（II）Tn=-(1•1+2•

1

2

+3•

1

22

++n•

1

2n-1

)，

1

2

Tn=-[1•

1

2

+2•

1

22

+(n-1)

1

2n-1

+n•

1

2n

]，再由錯(cuò)位相減法可求出T_n．

解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2+a當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（3分）
∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴a₁=2+a=2^1-1=1，
∴a=-1
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1（5分）
令2^n-1＞2010，又n∈N₊，
∴n≥12．
∴最小的自然數(shù)n=12（7分）
（II）bn=-

n

an

=-

n

2n-1

，Tn=-(1•1+2•

1

2

+3•

1

22

++n•

1

2n-1

)①（9分）

1

2

Tn=-[1•

1

2

+2•

1

22

+(n-1)

1

2n-1

+n•

1

2n

]②
②-①得-

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

-n•

1

2n

，
∴Tn=

n+2

2n-1

-4（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列的求和，解題時(shí)要認(rèn)真挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理求解．