Question

15．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x+sin²x，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A． f（x）是偶函數(shù)
• B． 函數(shù)f（x）最小值為$\frac{3}{4}$
• C． 函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)是減函數(shù)
• D． $\frac{π}{2}$是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期

Answer 1

分析 將函數(shù)化成只有一個(gè)函數(shù)名，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos⁴x+sin²x=（1-sin²x）²+sin²x=sin⁴x-sin²x+1=（sin²x-$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{4}$．
∵f（-x）=[（-sinx）²-$\frac{1}{2}$]+$\frac{3}{4}$=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)．∴A選項(xiàng)對(duì)．
當(dāng)sin²x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為$\frac{3}{4}$．∴B選項(xiàng)對(duì)．
當(dāng)x=$\frac{π}{3}$和$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）的值相等，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）不是單調(diào)函數(shù)，．∴C選項(xiàng)不對(duì)．
由f（x）的解析式可得，$\frac{π}{2}$是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期．．∴D選項(xiàng)對(duì)．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用和判斷．屬于基礎(chǔ)題．