Question

5．函數(shù)f（x）=（log₂x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$）．
（1）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)．求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）＞mlog₄x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=log₄x，x∈[1，4]時(shí)，t∈[0，1]，此時(shí)y=f（x）=（2t-2）（t-$\frac{1}{2}$）=2t²-3t+1，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的值域；
（2）若f（x）＞mlog₄x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，令t=log₄x，即2t²-3t+1≥mt對(duì)t∈[1，2]恒成立，進(jìn)而可得答案．

解答 解（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$），
  令t=log₄x，x∈[1，4]時(shí)，t∈[0，1]，
此時(shí)y=f（x）=（2t-2）（t-$\frac{1}{2}$）=2t²-3t+1，
當(dāng)t=$\frac{3}{4}$時(shí)，y取最小值-$\frac{1}{8}$，當(dāng)t=0時(shí)，y取最大值1，
∴$y∈[{-\frac{1}{8}，1}]$
即函數(shù)的值域?yàn)椋?[-\frac{1}{8}，1]$；
（2）若f（x）＞log₄x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，
令t=log₄x，即2t²-3t+1≥mt對(duì)t∈[1，2]恒成立，
∴$m＜2t+\frac{1}{t}-3$對(duì)t∈[1，2]恒成立
易知$g（t）=2t+\frac{1}{t}-3$在t∈[1，2]上單調(diào)遞增
∴g（t）_min=g（1）=0，
∴m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．