Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓G的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓G上，且△PF₁F₂的周長為4+4

2

．
（Ⅰ）求橢圓G的方程
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，若

OA

⊥

OB

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線l與圓x2+y2=

8

3

相切．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，

c

a

=

2

2

且2a+2c=4+4

2

，
解得a=2

2

，c=2，
又b²=a²-c²=4，
所以橢圓G的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）證明：由題意可知，直線l不過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），
（�。┊�(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為x=m（m≠0）且-2

2

＜m＜2

2

，
則x₁=m，y1=

4- m2 2

，x₂=m，y2=-

4- m2 2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁+y₂=0，
∴m2-(4-

m2

2

)=0，解得m=±

2 6

3

，
故直線l的方程為x=±

2 6

3

，
因此，點(diǎn)O（0，0）到直線l的距離為d=

2 6

3

，
又圓x2+y2=

8

3

的圓心為O（0，0），半徑r=

2 6

3

=d，
所以直線l與圓x2+y2=

8

3

相切；
（ⅱ）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

 得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-8k2

1+2k2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
故

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，即3m²-8k²-8=0，3m²=8k²+8，①
又圓x2+y2=

8

3

的圓心為O（0，0），半徑r=

2 6

3

，
圓心O到直線l的距離為d=

|m|

1+k2

，
∴d2=(

|m|

1+k2

)2=

m2

1+k2

=

3m2

3(1+k2)

②，
將①式帶入②式得
d2=

8k2+8

3(1+k2)

=

8

3

，
所以d=

2 6

3

=r，
因此，直線l與圓x2+y2=

8

3

相切．