Question

16．如圖所示的多面體中，底面ABCD為正方形，△GAD為等邊三角形，∠GDC=90°，點E是線段GC上除兩端點外的一點．
（1）若點P為線段GD的中點，證明：平面APF⊥平面GCD；
（2）若AD=2，E為CG的中點，求△BED的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明CD⊥平面GAD得出AP⊥CD，再結(jié)合AP⊥GD得出AP⊥平面GCD，故而平面APF⊥平面GCD；
（2）建立空間坐標系，求出$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DB}$的夾角，代入面積公式計算．

解答 （1）證明：∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又CD⊥GD，GD∩AD=D，
∴CD⊥平面GAD，∵AP?平面GAD，
∴CD⊥AP，
∵△GAD是等邊三角形，P是CG的中點，
∴AP⊥GD，又GD∩CD=D，
∴AP⊥平面GCD，∵AP?平面APF，
∴平面APF⊥平面GCD．
（2）解：取AD的中點O，連結(jié)GO，
∵GAD是等邊三角形，∴GO⊥AD，
又平面GAD⊥平面ABCD，平面GAD∩平面ABCD=AD，GO?平面GAD，
∴GO⊥平面ABCD，
以O為原點，以OA，OG為x軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B（1，2，0），C（-1，2，0），G（0，0，$\sqrt{3}$），D（-1，0，0），
∵E是GC的中點，∴E（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
∴cos＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{DB}||\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}•|\overrightarrow{DB}||\overrightarrow{DE}|$•sin＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題．