Question

11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＜2-$\frac{1}{n}$（n∈N*，n≥2）

Answer 1

分析 原題要求利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，首先驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立，然后假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，然后利用歸納假設(shè)證明n=k+1時(shí)不等式成立，最后下結(jié)論．

解答 證明：①當(dāng)n=2時(shí)，原不等式左邊=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，右邊=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，左邊＜右邊，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原不等式成立，即1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（1+k）^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{（1+k）^{2}}$=2-$\frac{{k}^{2}+2k+1-k}{k（k+1）^{2}}$，
=2-$\frac{{k}^{2}+k+1}{k（k+1）^{2}}$=2-$\frac{k（k+1）}{k（k+1）^{2}}$-$\frac{1}{k（k+1）^{2}}$＜2-$\frac{k（k+1）}{k（k+1）^{2}}$=2-$\frac{1}{k+1}$，
即n=k+1時(shí)原不等式也成立．
綜上，對(duì)于任意n（n∈N^*且n≥2）原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，利用歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵是用上歸納假設(shè)，是中檔題．